Задачи для индивидуальных заданий

Типовой расчет № 2

ТЕМА: Аналитическая геометрия

Примеры решения задач.

Пример 1. В прямоугольной декартовой системе координат заданы верхушки треугольника АВС: А(4; 3), В(16; –6); С(20; 16). Отыскать:

  1. длину стороны АВ;
  2. уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
  3. угол В треугольника (с точностью до одной минутки);
  4. уравнение высоты CD и ее длину;
  5. уравнение биссектрисы Задачи для индивидуальных заданий BN;
  6. уравнение медианы АЕ и координаты точки К скрещения этой медианы с высотой CD;
  7. уравнение прямой KL, проходящей через точку K параллельно прямой АВ;
  8. координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Выстроить треугольник АВС, высоту CD, медиану АЕ, биссектрису BN и точку М.

Решение.

1. Применяя формулу для Задачи для индивидуальных заданий вычисления расстояния меж точками (либо формулу для вычисления модуля вектора) находим:

.

2. Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А и В, В и С, получим уравнения:

В итоге преобразования этих уравнений получим соответственно:

3. Если прямые не являются взаимно перпендикулярными и ни одна из их не параллельна Задачи для индивидуальных заданий оси Оу, то острый угол меж ними может быть определен по формуле

.

Так как угловые коэффициенты сторон угла В нам уже известны и угол В острый угол (см. чертеж), то подставляя в последнюю формулу и , получим

.

Угол меж прямыми может быть также найден как угол меж их нормальными векторами (либо меж направляющими Задачи для индивидуальных заданий векторами).

4. Из условия перпендикулярности прямых АВ и СD находим угловой коэффициент прямой CD: . Если известна точка разыскиваемой прямой и ее угловой коэффициент k, то уравнение прямой можно записать в виде . Так как координаты точки С нам известны, то уравнение прямой СD имеет вид:

.

Для нахождения длины высоты CD определим сначала Задачи для индивидуальных заданий координаты точки D – точки скрещения прямых AB и CD. Решая систему уравнений

находим . Потому .

Длину высоты CD можно отыскать по формуле, дающей расстояние от точки до прямой:

5. Сначала определим координаты точки N, принадлежащей стороне треугольника АС, и делящей эту сторону в отношении . По свойству биссектрисы угла треугольника можем записать . Вычисляем Задачи для индивидуальных заданий длины сторон треугольника: . Условимся проводить вычисления в этом пт с точностью до 0,1, т.е. . Находим координаты точки N:

Запишем уравнение биссектрисы угла В как уравнение прямой, проходящей через две точки В(16; –6) и N(10,6; 8,4):

–уравнение биссектрисы угла В.

Можно советовать другой путь решения этой задачки: отыскать орт вектора , т.е Задачи для индивидуальных заданий. , и орт вектора , т.е. , тогда вектор есть направляющий вектор разыскиваемой биссектрисы, проходящей через заданную точку В.

6. Определим координаты точки Е, являющейся серединой стороны ВС, по формулам деления отрезка в данном отношении при :

Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, уравнение медианы АЕ имеет вид:

либо Задачи для индивидуальных заданий – общее уравнение прямой АЕ.

Точка скрещения медианы АЕ и высоты CD определяется в итоге решения системы уравнений

7. Ввиду параллельности прямых KL и AB, . Подставляя координаты точки К и в уравнение прямой, проходящей через заданную точку, с известным угловым коэффициентом, получим

– общее уравнение прямой KL.

8. Ровная АВ перпендикулярна прямой CD; потому точка М Задачи для индивидуальных заданий лежит на прямой АВ. Не считая того, точка D является серединой отрезка АМ. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении, находим координаты точки М:

Выполним чертеж:

Пример 2.Привести уравнение полосы второго порядка к каноническому виду; выстроить данную линию (на чертеже указать «старую» и «новую» системы координат).

Решение. Перепишем уравнение Задачи для индивидуальных заданий в виде

.

Проведем в скобках «дополнение до полного квадрата» и выполним тривиальные преобразования:

,

,

,

.

Введем «новые» координаты . Последнее уравнение в «новых» координатах воспримет вид:

.

Это есть каноническое уравнение эллипса с полуосями

Пример 3. В прямоугольной декартовой системе координат заданы четыре точки . Требуется:

  1. составить общее уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В Задачи для индивидуальных заданий, С;
  2. составить канонические уравнения прямой полосы, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q и отыскать координаты точки N скрещения этой прямой с плоскостью Q;
  3. отыскать расстояние от точки М до плоскости Q;
  4. составить канонические уравнения прямых АВ и АМ и отыскать угол меж этими прямыми;
  5. отыскать угол меж прямой Задачи для индивидуальных заданий АМ и плоскостью Q;
  6. отыскать площадь треугольника АВС;
  7. отыскать объем пирамиды АВСМ.

Решение.

  1. Подставляя в уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, координаты точек А, В, С получим

.

В итоге вычисления определителя имеем

.

Разыскиваемое уравнение плоскости Q:

.

Уравнение плоскости Q можно отыскать используя другие формулы, к примеру: уравнение плоскости, проходящей Задачи для индивидуальных заданий через точку, ортогонально вектору (тут в качестве данной точки взять всякую из 3-х данных точек, скажем точку А, и обычный вектор плоскости Q найти как векторное произведение векторов и ).

2. В качестве направляющего вектора разыскиваемой прямой возьмем обычный вектор плоскости Q. Подставив в канонические уравнения прямой координаты точки М и координаты Задачи для индивидуальных заданий направляющего вектора (2, –1, –2), получим уравнения прямой MN:

.

Найдем точку N. Используем параметрические уравнения прямой MN

Подставляя эти выражения в уравнение плоскости Q, получим значение параметра t:

.

Подставив в параметрические уравнения прямой MN , находим координаты точки N скрещения этой прямой с плоскостью Q: .

3. Используя формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости, находим:

.

Это Задачи для индивидуальных заданий расстояние можно отыскать и как расстояние меж 2-мя точками: М и N.

4. Запишем уравнение прямой АВ как уравнение прямой, проходящей через две точки

канонические уравнения прямой АВ: .

Аналогично получаем канонические уравнения прямой АМ: .

Угол меж прямыми АВ и АМ найдем как угол меж их направляющими векторами:

,

так как , то Задачи для индивидуальных заданий мы находим острый угол меж этими прямыми: (с точностью до минутки).

5. В формулу для вычисления синуса угла меж прямой и плоскостью подставляем координаты обычного вектора плоскости и направляющего вектора прямой, получим:

(с точностью до одной минутки).

6. Так как площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю Задачи для индивидуальных заданий векторного произведения этих векторов, то площадь треугольника АВС найдем как

.

.

Как следует, кв.ед.

7.) , тут смешанное произведение 3-х векторов.

Как следует, куб.ед.

Естественно, в этом случае можно отыскать объем пирамиды и так: , т.е.

Задачки для личных заданий

В задачках 1-30даны координаты вершин треугольника АВС . Отыскать:

1) уравнение биссектрисы, проведенной из Задачи для индивидуальных заданий верхушки В;

2) центр масс треугольника (точка скрещения медиан);

3) центр и уравнение описанной окружности;

4) площадь треугольника АВС;

5) записать систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

А -3,-1 -4,2 1,-1 -2,-3 1,-4 -4,1 -1,2 -3,-2 3,2 -1,-3 -1,-3 2,-1 -1,-3 3,2 -1,2
B -1,3 2,3 3,-1 -1,-3 -4,2 -4,-1 -3,-1 -4,2 -1,-1 -1,-2 2,3 2,1 1,-1 2,-4 -4,2
C -4,3 -4,-2 -1,3 2,-1 -4,-3 1,-1 2,-2 -1,-1 -3,-2 1,-1 -4,-1 -2,3 -3,-4 -1,-4 -1,-3

А -4,-1 2,-1 -1,2 -4,-1 -4,-4 -4,-2 -4,1 -2,-4 -2,1 -2,-4 -4,1 3,2 2,-1 1,-1 -3,-2
B -1,-2 3,-2 -1,-4 1,-1 -1,-3 -4,1 3,-4 -1,1 -1,-2 -1,1 -4,-1 2,-4 3,-2 3,-1 -4,2
C -4,-3 1,2 1,-4 -4,1 -4,-1 -2,-1 2,-3 2,2 -1,-4 2,2 1,-1 -1,-4 1,2 -1,3 -1,-1

В задачках 31-60 привести уравнения линий 2 – го порядка к каноническому виду; выстроить данные полосы (на чертеже указать «старую» и «новую» системы координат).

В задачках Задачи для индивидуальных заданий 61-90 даны координаты вершин пирамиды . Отыскать:

1) канонические уравнения прямой ;

2) косинус угла меж ребрами и ;

3) общее уравнение плоскости ;

4) синус угла меж ребром и гранью ;

5) площадь грани ;

6) объем пирамиды;

А -1,1,1 -4,-4,1 -4,3,-1 1,-3,-1 -2,-4,-1 3,-4,-4 -4,-1,-4 1,-2,-4 -1,-4,-4 -4,-4,-1
В -2,-4,-4 -1,-3,-1 -4,-2,-2 3,-3,-1 -1,1,-3 -1,3,-2 -4,1,-4 -1,-3,-4 -3,-1,1 3,-2,-4
С -3,-4,-2 -3,-4,-4 -4,1,-4 2,-1,-3 1,-3,-4 1,3,-4 -3,-4,-1 -4,1,3 2,-3,-4 -4,-4,1
D 2,-1,1 -3,-1,-1 3,-1,2 1,-4,-2 -2,3,-1 -4,-4,1 -4,-3,-3 1,-3,-4 -1,-3,3 -3,3,-2

А -1,-1,-4 2,-1,3 1,-1,-4 -4,-4,1 -4,-3,-1 3,3,3 1,-4,1 1,-2,-1 -4,1,-4 -2,-4,-1
В -2,3,1 -2,-1,-4 3,-1,-1 3,-2,-1 -3,-1,3 -3,2,-3 -1,-1,2 -4,-4,2 -4,-1,-4 3,2,-1
С 1,-4,3 -4,3,-1 -4,-4,-2 -2,-1,-1 2,2,2 -3,-2,2 -1,1,-4 3,-4,-4 -2,-4,-3 -1,-4,-4
D -3,3,-4 -4,-4,-4 1,1,-4 -4,2,1 1,2,-4 -2,3,-4 -1,-4,1 3,-4,2 -4,-1,3 3,3,-2

А -2,-4,-4 -4,-1,-1 2,-4,1 -4,-1,-4 -4,-1,-4 -4,1,-4 -1,-4,-4 -1,-1,-4 -4,-1,-1 -4,-4,1
В -4,-4,-1 2,-4,1 -4,2,-2 -4,-2,2 -4,1,-4 -4,-1,-4 -3,-1,1 -2,3,1 2,-4,1 3,-2,-1
С -4,-1,-1 -1,-1,-4 -1,2,-1 1,-4,-2 -3,-4,-1 -2,-4,-3 2,-3,-4 1,-4,3 -1,-1,-4 -2,-1,-1
D 1,2,1 -4,2,-4 -1,-1,2 -4,-3,-1 -4,-3,-3 -4,-1,3 -1,-3,3 -3,3,-4 -4,2,-4 -4,2,1


zadacha-obespechenie-dostojnogo-urovnya-vzaimodejstviya-s-zayavitelyami-17.html
zadacha-obrabotki-reshetki-stranica-2.html
zadacha-ocenka-dvuh-raspredelenij-i-ih-razlichiya-vliyanie-kakogo-to-faktora.html