Задачи для расчетно-графической работы

МАТЕМАТИКА

Методические советы
по выполнению расчетно-графической работы по теме «Применение производной к исследованию функции» для студентов всех направлений очной формы обучения

Кострома
ФГБОУ ВПО Костромская ГСХА


Оглавление

Введение. 4

1. Введение в математический анализ. 5

1.1. Методы задания функций. 5

1.2. Методы образования функций. 6

1.3. Предельные процессы переменной x. 8

1.4. Предел функции. Нескончаемо малые и нескончаемо огромные функции. 8

1.5. Нахождение предела функции при Задачи для расчетно-графической работы x ® a, x ® a – 0, x ® a + 0. 10

1.6. Раскрытие неопределенностей вида ..... 11

1.7. Нахождение пределов функций при x ® ∞, x ® – ∞, x ® + ∞.. 14

1.8. Непрерывность и разрывы функции. 15

2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 20

2.1. Понятие производной. 20

2.2. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. 21

2.3. Производные высших порядков. 24

2.4. Правило Лопиталя. 27

2.5. Уравнение касательной и нормали. 28

2.6. Исследование функций на монотонность (возрастание, убывание)
и экстремум Задачи для расчетно-графической работы.. 28

2.7. Нахождение меньшего и большего значений функции. 30

2.8. Исследование графиков функций на неровность,
вогнутость и перегиб. 32

2.9. Полное исследование функций и построение графиков. 33

3. Задания к расчетно-графической работе.………………………………………....37

4. Эталон выполнения расчетно-графической работы…………………………….47

Перечень рекомендуемых источников. 52

Приложение. 51


Введение

Математический анализ — раздел арифметики, в каком, по определению Фридриха Энгельса, изучаются количественные дела реального мира Задачи для расчетно-графической работы. Математический анализ является основой высшей арифметики. Он обхватывает те разделы арифметики, которые опираются на понятие функции и на идеи исчисления нескончаемо малых.

Развитие математического анализа началось еще в XVI веке и длится до наших дней, повсевременно обогащаясь новыми более совершенными способами и фактами. В различное время задачками математического анализа занимались Задачи для расчетно-графической работы многие величавые арифметики. Их имена увековечены в заглавиях способов, теорем, признаков, правил, с которыми вы познакомитесь в процессе исследования курса арифметики.

Основными понятиями математического анализа являются понятия: величины, функции, предела, производной и интеграла. Исследование задач, связанных с этими понятиями, привело к образованию 2-ух главных частей математического анализа — дифференциального Задачи для расчетно-графической работы и интегрального исчислений, являющихся базисными в математической подготовке инженера.

1. Введение в математический анализ

1-ое, с чем сталкиваются исследователи в научной и практической деятельности в разделе «Введение в математический анализ», являются величины.

Под величиной в арифметике понимают те характеристики и свойства предметов и явлений, которые можно выразить числом: длина, площадь, объем, температура Задачи для расчетно-графической работы, теплоемкость, стоимость продукта, время и т.п. Нельзя отнести к величинам, к примеру, красоту явления, нрав человека и т.п.

Изучая величины, обычно абстрагируются от их определенной природы и рассматривают только их численные значения. После этого приобретенные результаты становятся применимыми к величинам хоть какой природы в разных областях людской деятельности Задачи для расчетно-графической работы: в механике, физике, инженерном деле, экономике и т.д.

Все величины подразделяют на неизменные и переменные. Неизменные величины обычно обозначают или числами (1, 2, 3, …; 0,725; p; е, …), или первыми знаками латинского алфавита (a, b, c, d, …). Переменные величины обычно обозначают последними знаками латинского алфавита (x, y, z, t, …). Неизменные и переменные величины можно Задачи для расчетно-графической работы изображать точками на числовой оси Оx. При всем этом огромное количество значений x,удовлетворяющих неравенству а < x < b,именуют открытым интервалом и обозначают в виде(a; b). Таким макаром, в сокращенной записи получим(a; b)Û {x: a < x < b}.

Аналогично определяются и понимаются огромного количества:

[a; b Задачи для расчетно-графической работы] Û {x: a £ x £ b};

[a; b) Û {x: a £ x < b};

[a; +¥) Û {x: a £ x < +¥};

(–¥; a] Û { x: –¥ < x £ a};

(–¥;+¥) = R Û { x: –¥ < x < +¥} и т.д.

Подробное описание этих понятий можно отыскать в источнике [2, § 13].

1.1. Методы задания функций

Термин функция появился в первый раз у Задачи для расчетно-графической работы Г.В. Лейбница еще в XVII веке. Обозначение функции в виде y = f(x) начал использовать Л. Эйлер в XIX веке. С понятием функции 1-го переменного можно ознакомиться в [2, § 14]. Мы будем рассматривать числовые функции 1-го переменного x: y = f(x) либо y = y(x). Область определения (задания, существования) таковой Задачи для расчетно-графической работы функции будем обозначать через D(y), а область конфигурации (значений) — через E(y).

Более применяемые методы задания функций приведем в таблице 1.

Таблица 1. Главные методы задания функций

Заглавие метода Чем задана функция y = y(x) Форма задания
1. Аналитический (более употребляемый) Аналитическим выражением (формулой) y = f(x) — очевидная F(x, y) = 0 — неявная — параметрическая Задачи для расчетно-графической работы (t — параметр)
2. Графический (приятный, рис. 1) Графиком (в системе координат) Рис. 1. Графический метод
3. Табличный Таблицей
x x1 x2 xn
y y1 y2 yn

1.2. Методы образования функций

Самыми ординарными посреди очевидно данных функций являются 16 функций:

1) y = С — неизменная;

2) y = xn — степенная (n ¹ 0);

3) y = ax — показательная (a > 0, a ¹ 1);

4) y = loga x — логарифмическая Задачи для расчетно-графической работы (a > 0, a ¹ 1);

5) y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x — тригонометрические;

6) y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x, y = arccosec x — обратныетригонометрические функции.

Эти функции именуют основными Задачи для расчетно-графической работы простыми функциями. Характеристики и графики этих принципиальных функций изучают в курсе арифметики средней школы. Эти сведения лучше повторить. Для этого можно использовать школьные учебники, также [2, § 14].

Из главных простых функций, как из «кирпичиков», образуют огромное количество новых функций. Для этого употребляют разные методы. Разглядим некие из их.

1. Образование функций при помощи арифметических Задачи для расчетно-графической работы операций (+, –, ×, :), к примеру:

а) y = 3 sin x + 4 tg x – 5 lg3x + arcsin x;

б) Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + …+ an-1x + an — многочлен степени n;

в) гиперболические функции:

— гиперболический синус;

— гиперболический косинус;

— гиперболический тангенс;

— гиперболический котангенс.

Заметим, что гиперболические функции получены при помощи арифметических операций из Задачи для расчетно-графической работы показательной функции аx при a = e.

2. Образование функций при помощи повторного взятия функции:

y = f(j(x)). (1)

Такую функцию именуют сложной функцией либо функцией сложного аргумента. К примеру, сложными будут функции:

y = sin 3x, y = arctg (lg x), y = lg (x2 + 1), (2)

а их аргументами, соответственно, 3x,lg x, x2 + 1.

3. Образование Задачи для расчетно-графической работы функций при помощи нескольких аналитических выражений, к примеру

(3)

Эта функция в области D(y) = [0; 3p] задана 3-мя разными аналитическими выражениями.

При образовании функций могут употребляться и другие, не считая вышеперечисленных, операции, к примеру, дифференцирование и интегрирование, также нескончаемое число таких операций. Из огромного количества схожих функций выделяют более обыкновенные — те, которые Задачи для расчетно-графической работы получены из главных простых функций при помощи конечного числа арифметических операций и операций взятия функций от функций и которые записаны одним аналитическим выражением. Такие функции именуют простыми. К примеру, простыми будут многочлены, гиперболические функции, функции (1) и (2), а функция (3) не будет простой, потому что она задана не одним аналитическим выражением Задачи для расчетно-графической работы.

1.3. Предельные процессы переменной x

При изменении переменной величины x время от времени можно выделить соответствующую особенность в ее поведении: однообразное возрастание либо убывание, неограниченное приближение к неизменному числу и т.п. Если переменная величина x (к примеру, время) неограниченно растет и при всем этом остается положительной, то такое поведение величины x Задачи для расчетно-графической работы символически будем обозначать как x ® +¥. Таким макаром, символическая запись x ® +¥ будет означать, что x неограниченно растет и в процессе конфигурации станет и остается больше хоть какого сколь угодно огромного числа М > 0. Итак, x ® +¥ — это один из предельных процессов поведения переменной x. Аналогично понимаются другие предельные Задачи для расчетно-графической работы процессы:

x ® –¥,

x ® ¥ Û | x| ® +¥,

x ® a — x неограниченно приближается к числу а,

x ® a – 0Û — x неограниченно приближается к а слева;

x ® a + 0Û — x неограниченно приближается к а справа.

1.4. Предел функции.
Нескончаемо малые и нескончаемо огромные функции

Во всех рассмотренных ранее предельных процессах рассматривают пределы функции y = f(x Задачи для расчетно-графической работы). Эти пределы обозначают соответственно знаками:

, , ,

, , .

Определения этих пределов даны в учебнике [2, § 16].

Предел именуют пределом функции f(x) в точке а,

= f(a – 0) — пределом функции f(x) в точке а слева (левосторонним пределом),

= f(a + 0) — пределом функции f(x) в точке а справа (правосторонним пределом).

Меж этими 3-мя пределами Задачи для расчетно-графической работы существует тесноватая связь. Выразим ее в последующей принципиальной аксиоме.

Аксиома (о связи меж пределом функции в точке и её однобокими пределами):

Û f(a – 0) = f(a + 0), (4)

т.е. для существования предела функции в точке x = a нужно и довольно, чтоб существовали и были равны меж собой левосторонний и Задачи для расчетно-графической работы правосторонний пределы функции в этой точке.

Следует держать в голове, что всякий предел, если он существует, — это число.

Отметим два принципиальных варианта в теории пределов.

1. Если

, (5)

то функцию a(x) именуют нескончаемой малой (б.м.) при x ® x0. Заместо формулы (5) в данном случае записывают: a(x) ® 0 при x ® x0. К примеру, функция Задачи для расчетно-графической работы a1(x) = x2 – 1 будет б.м. при x ® 1, а функция a2(x) = sin x будет б.м. при x ® 0.

Примечание 1. В определении б.м. x0 может быть конечным числом а, а может означать бесконечность. Так, к примеру, функция a3(x) = 1/ x2 будет б.м. при x ® ¥ Задачи для расчетно-графической работы;, x ® –¥, x ® +¥.

2. Если при x ® x0 абсолютное значение функции b(x) неограниченно увеличивается, то эту функцию именуют нескончаемо большой (б.б.) при x ® x0 и записывают: либо b(x) ® ¥ при x ® x0. К примеру, функция будет б.б. при x ® 1, а функция — б.б. при x ® ¥.

Примечание Задачи для расчетно-графической работы 2. Если в процессе x ® x0 b(x) ® ¥ и начиная с некого значения x функцияb(x) становится положительной, то пишут b(x) ® +¥ при x ® x0 либо .

К примеру, .

Аналогично понимают ситуацию b(x) ® –¥ при x ® x0 либо .

К примеру, .

Примечание 3. Меж б.м. и б.б. функциями Задачи для расчетно-графической работы имеется тесноватая связь: в одном и том же процессе функция, оборотная б.м., будет б.б., а функция, оборотная б.б., — б.м. Символически эти утверждения будем записывать в виде

, (6)

. (7)

Следует подразумевать, что в формуле (6) идет речь не о делении на ноль (такая операция, как понятно, не имеет Задачи для расчетно-графической работы смысла), а о том, что когда знаменатель дроби стремится к нулю, а числитель нет, то дробь неограниченно увеличивается. Аналогично понимается формула (7).

1.5. Нахождение предела функции
при x ® a, x ® a – 0, x ® a + 0

Предел функции — это число. При помощи определения предела [2, §16] это число не находят, а только убеждаются, что конкретное число является пределом. Для Задачи для расчетно-графической работы нахождения предела употребляют характеристики пределов [2, §17]. Из этих параметров следует, что для отыскания предела функции в процессах x ® a, x ® a – 0, x ® a + 0 нужно подставить под символ предела значение x = a. К примеру:

1) ;

2) ;

3) ;

4) для функции

(8)

y(2 – 0) = ,

y(2 + 0) =

В схожих ситуациях никаких сложностей не появляется. Но время от времени возникают Задачи для расчетно-графической работы ситуации, которые в теории пределов принято именовать неопределенностями.

Так, к примеру, при отыскании предела получаем, что P(a) = 0 и Q(a) = 0. Это значит, что при x ® a и числитель, и знаменатель сразу стремятся к нулю. В данном случае молвят о неопределенности вида «ноль, деленный на ноль» и записывают ее Задачи для расчетно-графической работы символически в виде . Аналогично понимаются неопределенности вида , (0×∞), (∞ – ∞), (1∞), (00) и другие. Отыскать предел в таковой ситуации будет означать: раскрыть обозначенную неопределенность.

1.6. Раскрытие неопределенностей вида

При раскрытии неопределенностей такового вида обычно употребляют:

1) тождественные преобразования под знаком предела;

2) подмену переменной;

3) 1-й превосходный предел;

4) характеристики эквивалентных б.м. функций.

Разглядим несколько обычных примеров.

Пример Задачи для расчетно-графической работы 1.

Отыскать предел

.

Решение

Подстановка предельного значения x = 2 под символ предела приводит к неопределенности вида . Разложим числитель и знаменатель на множители. Для разложения числителя воспользуемся правилом разложения квадратного трехчлена на множители: если дискриминант квадратного трехчлена D ³ 0, то ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1, x2 — корешки соответственного квадратного уравнения. В Задачи для расчетно-графической работы нашем случае получаем:

x2 – 6x + 8 = 0, D = 36 – 4×8 = 4,

Как следует, x2 – 6x + 8 = (x – 2) (x – 4).

Для разложения на множители знаменателя используем тождество: a3 – b3 = (a – b) (x2 + ab + b2). Тогда получим

x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2) (x2 + 2x + 4).

Как следует,

Пример 2 [1, к задачкам № 61-70, п. 1].

Отыскать предел

.

Решение. Как и в примере 1, имеем неопределенность Задачи для расчетно-графической работы вида . Знаменатель просто разлагается на множители 5x2 – 15x = 5x(x – 3). Разложить на множители числитель не дают находящиеся там корешки. Умножим числитель и знаменатель на выражение, «сопряженное» знаменателю, и воспользуемся формулами

(a – b) (a+ b) = a2 – b2, .

Тогда получим

При раскрытии неопределенностей вида тождественных алгебраических преобразований возможно окажется недостаточно, в особенности в границах, содержащих Задачи для расчетно-графической работы тригонометрические функции. В таких ситуациях обычно употребляют тригонометрические тождества [1, с. 46] и 1-ый превосходный предел. Первым восхитительным пределом именуют предел

. (9)

1-ый превосходный предел можно переписать в символической форме

,

где в окошке ÿ может находиться неважно какая функция.

К примеру, восхитительными будут пределы

,

.

А вот пределы

не будут восхитительными и они не непременно равны 1.

Разглядим примеры, в Задачи для расчетно-графической работы каких употребляется 1-й превосходный предел.

Пример 3

Отыскать предел .

Решение

Явна неопределенность вида . Разделив и умножив под знаком предела на k, получим

Как следует,

. (9.1)

Пример 4 [1, к задачкам № 61-70, п. 4].

Отыскать предел .

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x, воспользуемся [2, аксиома 17.9] и пределом (9.1). Тогда получим

Пример 5 [1, к задачкам № 61-70, п. 4].

Отыскать предел .

Решение

Воспользуемся тождествами и Задачи для расчетно-графической работы из [1, с. 46]. Тогда получим: , .

А в согласовании с примерами 3 и 4 найдем предел

1.7. Нахождение пределов функций
при x ® ∞, x ® – ∞, x ® + ∞

Для отыскания предела функции в обозначенных предельных процессах подставлять под знаком предела заместо x бесконечность ∞ нельзя, это — знак. Для отыскания предела в таких процессах нужно рассматривать поведение функции, стоящей Задачи для расчетно-графической работы под знаком предела при соответственном изменении переменной x.

К примеру: 1) (см. формулу (7)); 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

Но, как и в процессах x ® a, x ® a – 0, x ® a + 0, тут могут повстречаться неопределенные ситуации обозначенных ранее видов. Разглядим обычный пример.

Пример 6 [1, к задачкам № 61-70, п. 2].

Отыскать предел .

Решение

Обычной анализ указывает, что при x ® ∞ числитель и знаменатель сразу стремятся к Задачи для расчетно-графической работы ∞, потому имеем неопределенность . Разделив числитель и знаменатель на x2, получим, беря во внимание (7),

1.8. Непрерывность и разрывы функции

Понятие предела функции теснейшим образом связывается с другим принципиальным понятием анализа — понятием непрерывности функции в данной точке и на отрезке. Из 2-ух определений непрерывности в точке приведем одно [1, § 19], которое будет применено при Задачи для расчетно-графической работы решении примера из контрольной работы.

Определение 1. Функцию f(x) именуют непрерывной в точке x = x0, если:

1) эта функция определена в точке x = x0 и в некой ее округи;

2) существует предел ;

3) = f(x0).

Саму точку x0 при всем этом именуют точкой непрерывности функции. Точки, в каких нарушается непрерывность функции, именуют Задачи для расчетно-графической работы точками разрыва этой функции.

Точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Определение 2. Точку разрыва x0 именуют точкой разрыва 1-го рода, если в ней есть левосторонний f(x0 – 0) и правосторонний f(x0 + 0) пределы. При всем этом число d = f(x0 + 0) – f(x0 – 0) именуют скачком функции в точке x Задачи для расчетно-графической работы0.

Определение 3. Точку разрыва x0 именуют точкой разрыва 2-го рода, если в ней не существует либо равен бесконечности по последней мере один из однобоких f(x0 + 0), f(x0 – 0) пределов.

Из этих определений и параметров непрерывных функций [1, § 19.4] вытекает, что точками разрыва простых функций могут быть только те точки, в каких Задачи для расчетно-графической работы эта функция не определена, а точками разрыва неэлементарных функций, данных несколькими аналитическими выражениями, могут быть к тому же точки, в каких происходит соединение разных аналитических выражений (точки «стыка»).

Пример 7.

Данную функцию изучить на непрерывность и разрывы, указать нрав разрыва и изобразить ее график в округи точек разрыва Задачи для расчетно-графической работы:

.

Решение

Функция задана одним аналитическим выражением, она простая. Потому эта функция непрерывна во всех точках, где определена, т.е. в точках x ¹ 3. Данная функция не определена в одной точке: x = 3. Означает, это и будет точка разрыва. Для выяснения нрава разрыва находим однобокие пределы функции:

Потому что однобокие пределы равны Задачи для расчетно-графической работы соответственно +∞ и –∞ (т.е. не есть), то точка x = 3 является точкой разрыва 2-го рода.

График функции изображен на рисунке 2.

Рис. 2. Вид графика функции
в округи точки x = 3

Пример 8.

Данную функцию изучить на непрерывность и разрывы, указать нрав разрыва и изобразить ее график в округи точек разрыва:

Решение

Функция определена при Задачи для расчетно-графической работы всех x. Она задана не одним, а 2-мя аналитическими выражениями, означает, является неэлементарной. И хотя эта функция определена при всех x, она может иметь разрыв в точке x = 0 (в точке «стыка»). Исследуем функцию на непрерывность в этой точке. 1-ое условие определения непрерывности выполнено: y(0) и D(y) = (–∞; +∞).

Найдем предел . Потому Задачи для расчетно-графической работы что в округи точки x = 0 функция имеет разные формы, то отыскать этот предел сходу нереально. Но здесь нам поможет аксиома о связи меж пределом функции в точке и ее однобокими пределами согласно формулы (4).

Для этого найдем

Потому что однобокие пределы есть , и равны меж собой, то существует и общий Задачи для расчетно-графической работы предел функции . А потому что этот предел равен значению функции в точке x = 0: , то все три условия непрерывности функции в точке выполнены. А означает, x = 0 — точка непрерывности функции. Изобразим график данной функции в округи точки x = 0 (рис. 3).

Рис. 3. Вид графика функции у
в округи точки x = 0

Пример 9.

Данную функцию изучить Задачи для расчетно-графической работы на непрерывность и разрывы, указать нрав разрыва и изобразить ее график в округи точек разрыва:

Решение

Функция тоже не является простой. И хотя она определена при всех x: D(y) = (–∞, +∞), точкой разрыва возможно окажется точка x = 1 (точка «стыка»). Как и в прошлом случае, находим

y(1) ,

y(1–0) = ,

y(1+0) = .

Видно, что , означает, общий предел функции Задачи для расчетно-графической работы в точке x = 1 не существует. Таким макаром, 2-ое условие определения непрерывности функции в точке x = 1 не выполнено. Как следует, x = 1 — точка разрыва. А потому что однобокие пределы есть, то точка x = 1 будет точкой разрыва 1‑го рода. Скачок функции в этой точке равен

.

Изобразим график функции в округи Задачи для расчетно-графической работы точки x = 1 (рис. 4).

Рис. 4. Вид графика функции у
в округи точки x = 1

Примечание. Функцию именуют непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех точках этого отрезка.

Контрольные вопросы

1. Перечислите главные методы задания функции, также их плюсы и недочеты.

2. Перечислите разновидности аналитического метода задания функции.

3. Как обозначается и находится область определения очевидно данной функции Задачи для расчетно-графической работы?

4. Перечислите главные простые функции и изобразите схематично их графики.

5. Перечислите предельные процессы независящей переменной величины х.

6. Дайте определение предела функции у = f(x) при x ® + ¥ и при x ® а.

7. Какую функцию именуют нескончаемо малой? Приведите пример б.м. функции.

8. Какую функцию именуют нескончаемо большой? Приведите пример б.б. функции Задачи для расчетно-графической работы.

9. Как связаны межд собой б.м. и б.б. функции?

10. Назовите 1-й и 2-й примечательные пределы.

11. Дайте определение непрерывности функции в точке и на интервале.

12. Точки разрыва функции. Какими бывают разрывы функции?

13. Что такое однобокие пределы функции в точке и как они связаны с общим пределом?


2. Дифференциальное Задачи для расчетно-графической работы исчисление
функций одной переменной

Дифференциальное исчисление — раздел арифметики, в каком изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. В этом разделе рассматриваются действительные функции 1-го реального переменного. Центральными понятиями дифференциального исчисления являются понятия производной и дифференциала, которые появились еще в XVII веке в трудах британского математика И. Ньютона и Задачи для расчетно-графической работы германского — Г. Лейбница. Некие вопросы обоснования задач, связанных с понятием производной, были разработаны французским математиком О. Коши только сначала XIX века.

Дифференциальное и интегральное исчисления содействовали возникновению ряда новых математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления и др.

Благодаря дифференциальному и интегральному исчислениям неизмеримо Задачи для расчетно-графической работы расширилась область приложений арифметики к вопросам естествознания и техники.

2.1. Понятие производной

Понятие производной появилось из огромного числа задач естествознания, приводящих к вычислению пределов 1-го и такого же типа. Важные из их — определение скорости прямолинейного движения и построение касательной к кривой. Из этих задач появилось определение производной [2, § 20.6], при помощи которого просто находятся Задачи для расчетно-графической работы производные простых простых функций [2, § 20.2]. Рабочая таблица производных приведена в приложении.

Для обозначения производной функции y = f (x) в точке x пользуются знаками:

y¢, f ¢(x), — введены Ж. Лагранжем в 1770 г.;

— введены Г. Лейбницем в 1675 г.;

— введены И. Ньютоном в 1665 г.

Производную функции y = f (x) в точке Задачи для расчетно-графической работы x = x0обозначают

.

Примечание. Операцию отыскания производной именуют дифференцированием.

2.2. Правила дифференцирования. Дифференциал функции

Поначалу нужно научиться воспользоваться таблицей производных. В особенности это касается производных от степенной функции. Для преобразования функции к виду, приведенному в таблице производных (см. приложение), употребляют разные тождественные преобразования, в том числе обыденные характеристики степеней:

1) ;

2) ;

3) xm Задачи для расчетно-графической работы xn = xm+n;

4) ;

5) (xm)n = xm n.

К примеру:

1) ;

2) ;

3) (x3 x4)¢ = (x7)¢ = 7x6.

Дальше нужно научиться дифференцировать функции, образованные при помощи арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, т.е. научиться использовать формулы:

1) (u + – w)¢ = u¢ + ¢ – w¢;

2) (u× )¢ = u¢ + u ¢;

3) (c×u Задачи для расчетно-графической работы)¢ = c u¢, где с = const;

4)

К примеру:

1) (sin x + х3 – 5)¢ = (sin x)¢ + (x3)¢ – (5)¢ = cos x + 3x2;

2) (5 tg x)¢ = 5 (tg x)¢ = ;

3) (3 ln x + 4 arctg x – 6x)¢ = (3 ln x)¢ + (4 arctg x)¢ – (6x)¢ =

= 3 (ln x)¢ + 4 (arctg x)¢ Задачи для расчетно-графической работы; – 6 (x)¢ =

=

4)

Для закрепления способностей лучше решить 1-ые примеры задач № 81-90 из источника [1].

Дальше отрабатываем правило дифференцирования сложной функции. Если y = f (z), где z = j (x), то

y¢x = y¢z×z¢x. (10)

Это правило позволяет переписать левый столбец таблицы производных (см. прил.) для функций обычного аргумента x Задачи для расчетно-графической работы в виде второго столбца для функций сложного аргумента z = j (x). И сейчас, при нахождении производной функции, следует сходу узнать, какой у неё аргумент. Зависимо от этого сходу определяем, какой формулой и из какого столбца таблицы нужно пользоваться. К примеру:

(sin x)¢ = cos x — по формуле (5) из Задачи для расчетно-графической работы левого столбца таблицы производных (аргументом функции является x);

(sin 5x)¢ = cos 5x (5x)¢ = cos 5x×5 = 5 cos 5x — по формуле (5) из правого столбца таблицы (сложным аргументом у синуса является z = 5x);

(ln (3x2 + 1))¢ = — по формуле (4.1) из правого столбца таблицы (сложным аргументом у логарифмической функции служит z Задачи для расчетно-графической работы = 3x2 + 1);

(arctg 4x)¢ = — по формуле (11) из правого столбца таблицы (сложным аргументом у арктангенса служит z = 4x).

Приобретенных познаний довольно, чтоб решить примеры 2 и 3 задач № 81-90 из источника [1].

Для решения примера 4 из нареченных задач отработаем правило дифференцирования неявно данной функции [1, с. 48]. Если функция y = y(x) задана неявно, т.е. уравнением (равенством Задачи для расчетно-графической работы), не разрешенным относительно у, то дифференцируем данное равенство по x (с учетом того, что у есть непростой аргумент z) и из приобретенного уравнения находим у¢.

Пример 10.

Отыскать производную функции, данной равенством

6x3 + 4 sin y – x3 e3y + 2 = 0.

Решение

Тут функция у задана неявно. Дифференцируем данное равенство по x Задачи для расчетно-графической работы, и помним, что y = y(x) является функцией переменного x, а означает,ееможно считать сложным аргументом в данном равенстве. Потому получаем

(6x3 + 4 sin y – x4 e3y + 2)¢ = (0)¢,

18x2 + 4 cos y×y¢– ((x4)¢e3y + x4(e3y)¢) + 0 = 0,

18x2 + 4 cos y×y¢– (4x3 e3y Задачи для расчетно-графической работы + x4e3y×3y¢) = 0,

18x2 + 4 cos y×y¢– 4x3 e3y – x4e3y×3y¢ = 0.

Отсюда находим:

y¢ (4 cos y×– 3x4 e3y)= 4x3 e3y – 18x2,

Пример 11.

Отыскать производную функции, данной равенством

5x + 7y2 – x2y3 + 10 = 0.

Решение

Действуем аналогично примеру 10

(5x + 7y2 – x2y3 + 10)¢ = (0)¢,

(5х Задачи для расчетно-графической работы)¢+ (7y2)¢ – (x2y3)¢+ (10)¢ = 0,

5+ 14 y×y¢ – (2xy3 + x2×3y2×y¢) = 0,

5+ 14 y×y¢ – 2xy3 – 3x2y2×y¢ = 0,

y¢(14 y×– 3x2y2×)¢ = 2xy3 – 5,

Остановимся еще на правиле дифференцирования параметрически данной функции. Если функция y = y(x) задана параметрически, т.е Задачи для расчетно-графической работы. при помощи системы равенств

то производная находится по формуле

(11)

Пример 12. Функция задан


zadacha-povisheniya-effektivnosti-professionalnogo-razvitiya-pedagogov-ne-mozhet-bit-reshena-tolko-za-schet-ispolzovaniya-tradicionnih-podhodov-k-ego-organizacii.html
zadacha-protivodejstviya-prestupnosti-v-sovremennih-usloviyah-predpolagaet-ispolzovanie-razlichnih-sredstv-ekonomicheskih-socialno-bitovih-politicheskih-i-pravovih.html
zadacha-raschet-iskusstvennogo-osvesheniya.html