Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей

7.1. Измерение тесноты связи меж действенным и факторными признаками 135

7.2. Анализ воздействия отдельных факторных признаков на действенный признак 145

7.3. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 148

7.4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 166

7.1. Измерение тесноты связи меж действенным и факторными признаками.

7.1.1. Линейная корреляция.

1. Обычная линейная корреляция при несгруппированных данных.

Если меж 2-мя явлениями х и у существует линейное стохастическое соотношение – линейная регрессия Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей, то степень интенсивности связи можно измерить при помощи коэффициента корреляции rxy. Корреляция в широком смысле слова значит связь, соотношение меж беспристрастно существующими явлениями и процессами. Соотношение меж регрессией и корреляцией можно представить в виде последующей схемы, предложенной Браве и Пирсоном.

Пусть заданы значения переменных х и у, меж которыми существует линейное Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей соотношение.

у, х – средние значения переменных либо их математические ожидания;

n – число проведенных наблюдений;

σх– стандартное отклонение х;

σу – стандартное отклонение у.

Представим уравнение

в эквивалентном виде

В этой системе величина

указывает, на сколько величин σу поменяется в среднем у, когда х возрастет на одно σх.

Величина r Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей является показателем тесноты связи и именуется выборочным коэффициентом корреляции либо обычным линейным коэффициентом корреляции либо парным коэффициентом либо просто коэффициентом корреляции.

Отметим другие модификации формулы для r.

В данной формуле σх и σу – выборочные средние квадратические отличия для переменных х и у, а σху– выборочный корреляционный момент либо выборочная ковариация Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей.

Определение. Ковариацией случайных величин х и у именуется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от собственных математических ожиданий, т.е.

Ковариация 2-ух случайных величин охарактеризовывает как степень связи случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (х, у). Ковариация – величина размерная, что затрудняет ее внедрение для оценки степени зависимости Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей случайных величин. Коэффициент корреляции лишен этих недочетов.

Для практических расчетов более комфортна последующая формула

По ней коэффициент корреляции находится конкретно из данных наблюдений и на его значении не скажутся округления данных, связанные с расчетом средних и отклонений от их.

Коэффициент корреляции обладает последующими качествами:

– Воспринимает значения на Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей отрезке от –1 до 1, т.е. -1≤r≤ 1. Чем поближе | rух | к 1, тем теснее связь.

– При rух = ±1 корреляционная связь представляет собой линейную многофункциональную зависимость. При всем этом все наблюдаемые значения размещаются на прямой полосы. При r = 1 меж отклонениями хi – х и уi – усуществует ровная связь, а при r= -1 оборотная.

– r = 0 указывает на Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей отсутствие линейной связи меж переменными, а не на отсутствие связи вообщем. При всем этом линия регрессии параллельна оси «Ох».

– При вычислении коэффициента корреляции для линейной регрессии индифферентно, какая переменная является зависимой, а какая объясняющей, т.е. rух = rху.

Коэффициент корреляции не поменяется, если переменные подвергнуть преобразованию либо поменять Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей их единицы измерения.

2. Обычная линейная корреляция при сгруппированных данных.

Отличия хj – х взвешиваем по частотам gij-го интервала значений объясняющей переменной х, отличия уk – у – по частотам hkk-го интервала зависимой переменной у, а произведение отклонений (хj – х)(ук – у) – по условным частотам pkj.

Потому

Коэффициент корреляции, вычисленный по несгруппированному материалу более Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей точен, чем коэффициент корреляции вычисленный по сгруппированным данным, потому что свободен от погрешности вносимой группировкой данных.

3. Связь меж коэффициентами корреляции, регрессии и детерминации.

Коэффициент а1 обычный линейной регрессии y = а0 + а1x переменной у на х определяется отношением

Коэффициент корреляции определяется последующим соотношением:

Для оценки свойства Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции, именуемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации для обычной линейной регрессии (парной детерминации) определяется последующим соотношением:

Это отношение указывает, какая часть общего рассеяния значений у обоснована изменчивостью переменной х. Это соотношение можно конвертировать:

Если коэффициент детерминации равен 1, то все эмпирические данные лежат на корреляционной Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей прямой, а если он равен 0, то ни о какой численной линейной зависимости переменной у от х в статистическом осознании не может быть и речи. Коэффициент детерминации – безразмерная величина, не реагирующая на преобразования переменных.

С коэффициентом детерминации связано понятие меры неопределенности регрессии:

Разглядим сейчас сопряженную регрессию:

Тогда

и потому

4. Линейная множественная Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей корреляция. Личная корреляция.

Показатель множественной корреляции охарактеризовывает тесноту связи рассматриваемого набора причин с исследуемым признаком, либо, по другому, оценивает тесноту совместного воздействия причин на итог. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден по формуле как индекс множественной корреляции

где σу2– общая дисперсия действенного признака,

Значение Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей индекса множественной корреляции лежит в границах от 0 до 1 и должно быть больше либо равно наибольшему парному индексу корреляции:

= 1, 2, …m

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена и через стандартизированные коэффициенты регрессии последующим образом:

rухi – парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей получила заглавие линейного коэффициента множественной корреляции, либо, совокупного коэффициента корреляции.

При линейной зависимости может быть так же определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции


Эта формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при всем этом к уравнению множественной регрессии, а используя только парные коэффициенты корреляции.

Личные коэффициенты (либо Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей индексы) корреляции, измеряющие воздействие науфактора хiпри постоянном уровне других причин, можно найти по формуле

либо по рекуррентной формуле

Личные коэффициенты корреляции меняются в границах от –1 до 1. Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Он рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: R2yx1…xm.

5. Воздействие неучтенных Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей причин на коэффициент корреляции.

На коэффициент корреляции при экономических расчетах могут влиять последующие причины:

- географический фактор: природно-климатические и физико-географические условия;

- фактор времени: следует учесть, за какой период по экономическим данным рассчитывается коэффициент корреляции – в месяц, квартал, год;

- однородность группировки социально-экономических явлений по комплексу признаков. Исследователь должен располагать на Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей теоретическом уровне обоснованным аспектом определения статистической однородности.

7.1.2. Нелинейная корреляция.

1. Нелинейная корреляция для парного уравнения регрессии.

Уравнение нелинейной регрессии, как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а конкретно индексом корреляции:

где Потому что

то индекс корреляции можно выразить как


Величина данного показателя находится в границах: 0≤R≤1, чем поближе к единице Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем паче накрепко отысканное уравнение регрессии.

Если нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации воспринимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть применен линейный коэффициент корреляции, величина которого в данном случае совпадает с индексом корреляции Rху Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей= rуz, где z – перевоплощенная величина признака-фактора, к примеру, z = 1/x либо z = lnx.


Обратимся для примера к равносторонней гиперболе y = b + a/x. Заменив 1/x на z, имеем линейное уравнение y = b + az, для которого может быть определен линейный коэффициент корреляции: r=a×sz/sy . Возводя данное выражение в квадрат, получим Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей:

Преобразовывая дальше, придем к последующему выражению для

как следует,

Но потому что

и , то

Таким макаром, приходим к формуле индекса корреляции

Заменив дальше zна 1/х, получим , соответственно . Аналогично для других функций подобного вида, в каких образования в линейный вид не затрагивают зависимую переменную, и требование МНК выполнимо.

По другому обстоит дело, когда Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В данном случае линейный коэффициент корреляции по перевоплощенным значениям признаков дает только приближенную оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

К примеру, при степенной функции после перехода к логарифмически линейному уравнению может быть найден линейный Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей коэффициент корреляции не для фактических значений х и у, а для их логарифмов, другими словами . Соответственно квадрат его значения будет охарактеризовывать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов:

Меж тем при расчете индекса корреляции употребляются суммы квадратов отклонений признака у, а не их Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения действенного признака, другими словами у, как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины lny и остаточная сумма квадратов как . Индекс корреляции определяется по формуле

В знаменателе расчета участвует сумма квадратов отклонений фактических значений уот их средней величины, а в расчете участвует . Соответственно различаются числители рассматриваемых характеристик Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей:

– в индексе корреляции и – в коэффициенте корреляции.

Нужно также держать в голове, что если при линейной зависимости признаков сопряженные регрессии имеют один и тот же коэффициент корреляции, другими словами , то при криволинейной зависимости они не равны, другими словами .

Потому что в расчете индекса корреляции употребляется соотношение Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей факторной и общей суммы квадратов отклонений, то R2 имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В особых исследовательских работах величину R2 для нелинейных связей именуют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надежности коэффициента корреляции. Индекс детерминации употребляется для проверки существенности в целом уравнения линейной Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей регрессии по F –аспекту Фишера:

,

где n– число наблюдений, m – число характеристик при переменной х. Величина m охарактеризовывает число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n-m-1) – число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Индекс детерминации можно ассоциировать с коэффициентом детерминации для обоснования способности внедрения линейной Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей функции. Чем больше кривизна полосы регрессии, тем величина коэффициента детерминации меньше индекса детерминации . Близость иx значит, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Если , то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В неприятном случае проводится оценка существенности различия и , вычисленных по одним и Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей этим же начальным данным через t-критерий Стьюдента:

, где – ошибка разности меж и .

Если tф >tт, то различия меж рассматриваемыми показателями корреляции существенны и подмена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Если t< 2, то различия несущественны и, как следует, может быть применение линейной регрессии.

2. Нелинейная корреляция для множественного уравнения регрессии.

Для криволинейной Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей зависимости, нелинейной по переменным, индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции.

К примеру, пусть для конторы модель прибыли у имеет вид

у = a0 + а1x1 + а2x2 + а3lnx3+ а4lnx4 ,

где х1 – удельные расходы на рекламу;

х2 – капитал конторы;

х3 – толика продукции конторы в общем объеме продаж данной группы продуктов Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей по региону;

х4 – процент роста объема продаж компании по сопоставлению с предшествующим годом.

Тогда независимо от того, что фактор х1 задан линейно, а х2, х3, х4 – в логарифмах, оценка тесноты связи может быть произведена при помощи линейного коэффициента множественной корреляции.

По другому обстоит дело с криволинейной регрессией, нелинейной Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей по оцениваемым характеристикам. Представим, что рассматривается производственная функция Кобба-Дугласа:

, где P– объем продукции, L – издержки труда, К – величина капитала, b1+b2=1.

Логарифмируя ее, получим линейное уравнение в логарифмах

LnP = lna + b1lnL + b2lnK

Индекс детерминации для нелинейных по оцениваемым характеристикам функции принять именовать «квазиR2» определения по функциям, использующим логарифмические Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей преобразования (степенная, экспонента), нужно отыскать поначалу теоретические значения lny, потом трансформировать их через антилогарифмы, другими словами отыскать теоретические значения действенного признака и дальше определять индекс детерминации как «квазиR2» по формуле

Величина индекса множественной корреляции, определенная как «квазиR2» не будет совпадать с совокупным коэффициентом корреляции.

Для того чтоб не Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей допустить вероятного преувеличения тесноты связи, употребляется скорректированный индекс (коэффициент) множественной корреляции. Он содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

, где n – число наблюдений, m – число причин.

Чем больше величина m, тем посильнее различия меж .

Для линейной зависимость признаков скорректированный коэффициент корреляции определяется по той же формуле, что Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей и индекс множественной корреляции. Отличие заключается только в том, что в линейной зависимости под m понимается число причин, включенных в анализ, а в криволинейной зависимости это число характеристик при х. К примеру, если y=f(x1,x2), то для линейной зависимости m = 2, а для регрессии вида

у = a0 + а1x Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей12+а12x1 + а2x2 +а22x22

число характеристик при х равно 4, другими словами m = 4.


zadachi-4-k-ekzamenacionnim-biletam-po-geometrii-7-klass.html
zadachi-8-filial-rossijskogo-gosudarstvennogo-universiteta-turizma-i-servisa-v-g-o-samare-10-gosudarstvennij-vuz-10-stranica-11.html
zadachi-8-filial-rossijskogo-gosudarstvennogo-universiteta-turizma-i-servisa-v-g-o-samare-10-gosudarstvennij-vuz-10-stranica-6.html